複数の文献に「任意の分離局所凸空間はノルム空間の射影極限として書ける」とあるのですが，その証明が回っていないような気がして，いろいろ考えていたら反例が作れたのでまとめました．
2020-08-27: 公開
2020-08-27: Twitterで p進大好きbot さんから次のような指摘を頂きました．ありがとうございます．（以下の文章は箱が解釈したもので，ご指摘いただいた文章そのままではありません．誤りがあれば箱の責任です．）
主張2の証明は次のように簡略化できる．Eがノルム空間の図式{F_λ}の逆極限として書けたとする．π_λ: E → F_λを構造射とする．するとF_λのノルムのπ_λによる引き戻しはE上の連続半ノルムだからKer π_λはEにおいて有限余次元であり，したがってIm π_λは有限次元，特に完備．したがって完備化の普遍性より，π_λ: E → Im π_λはπ’_λ: E’ → Im π_λ ⊆ F_λに一意に連続拡張できる（E’はEを真かつ稠密に含む局所凸空間ならなんでもよい．たとえば完備化をとればよい）．拡張の一意性などからπ’_λたちが図式{F_λ}中の射とcompatibleであることがわかり，したがって逆極限の普遍性からπ’: E’ → Eを得る．ところがこれは包含写像E → E’の retraction であることが確かめられ，EはE’において閉ということになるが，これは矛盾．
この方法はより一般の圏でも有効であり，「逆極限でないことを示すには任意の図式を考える必要はなく，普遍的な図式のみを考えればよい」ということが適切な仮定（随伴関手定理の仮定）の下で成り立つということを表している．